Теоремы об изоморфизмах для нелокальных эллиптических граничных задач и их приложения

Abstract

В данной работе изучается разрешимость в обобщенных функциях одного класса нелокальных задач для эллиптических уравнений произвольного порядка. Подобные задачи в классах гладких функций изучались различными методами в [1—4]. В работе [5] введено понятие нормальных нелокальных граничных условий, выведена формула Грина и исследована разрешимость в классах гладких функций как заданной, так и формально сопряженной задач. В данной работе эти результаты используются* для установления теорем о полном наборе изоморфизмов. Эти теоремы утверждают, что оператор, порожденный эллиптическим уравнением порядка 2m и нормальными нелокальными граничными условиями, при любом действительном б осуществляет изоморфизм, грубо говоря, между пространствами обобщенных функций, «имеющих s и s—2m производных». Из этих теорем следуют, и частности, известные теоремы об изоморфизмах для локальных задач [6—16]. Доказанные в данной работе теоремы об изоморфизмах применяются затем к локальному повышению гладкости обобщенных решений вплоть до границы и до поверхности разрыва коэффициентов, к построению и изучению свойств регулярности функции Грина и к исследованию задач со степенными особенностями в правых частях. Для получения теорем об изоморфизмах применяется методика транспонирования М. И. Вишика — С. Л. Соболева [17] и интерполяционные теоремы.