Про оптимальне керування системами, що описуються загальними еліптичними граничними задачами

Abstract

Про оптимальне керування системами, що описуються загальними еліптичними граничними задачами У цій роботі теорема про повний набір ізоморфізмів для загальних еліптичних задач застосовується до дослідження оптимального керування системами, що описуються еліптичними рівняннями і системами довільного порядку. Таким задачам керування присвячені роботи багатьох авторів (див. монографію Ліонса [ 1], де е докладна бібліографія, а також [2]). В [1] досліджено цілий ряд таких задач, в основному для рівнянь 2-го порядку. Випадок рівняння високого порядку розглянуто в [3]; при цьому зроблено припущення, що граничні вирази є нормальними, а їх порядки задовольняють певну додаткову умову. В даній роботі показано, що застосування теореми про повний набір ізоморфізмів [4—8] дає змогу одержати ці і більш загальні результати для еліптичних рівнянь і систем довільного порядку без припущення про нормальність граничних умов. Ці результати вдалось встановити завдяки зручному вибору просторів узагальнених функцій у [4—8], а також завдяки знайденим в роботі явним виразам для операторів Аі , спряжених до операторів сім’ї що здійснює повний набір ізоморфізмів. Розгляд конкретних задач зводиться тепер до безпосереднього застосування загальної теореми з [1] (див. нижче твердження 1), що є аналогом принципу максимуму Л. С. Понтрягіна (в [1] при застосуванні загальної теорії до конкретних прикладів доводилось в ряді випадків зустрічатись з додатковими труднощами).