Формула Грина и условия разрешимости нелокальных эллиптических граничных задач

Abstract

В данной работе изучается один класс нелокальных задач для эллиптических уравнений произвольного порядка (в том числе и с коэффициентами, терпящими разрывы 1-го рода вдоль некоторого многообразия y). В этих задачах «граничные условия» задаются линейными дифференциальными соотношениями, связывающими значения искомой функции и се производных в точках границы Г данной области с их значениями на у. Для уравнений и систем 2-го порядка с непрерывными коэффициентами подобная задача была поставлена А. В. Бицадзе и А. А. Самарским [1]; там же предложена методика решения этой задачи, которая иллюстрируется на примере уравнения Лапласа с условиями типа условий Дирихле. В работах [2, 3] развит другой подход к изучению подобных задач, использующий созданную в последние годы общую теорию эллиптических уравнений. В этих работах установлены условия, необходимые и достаточные для нетеровостн общих нелокальных граничных задач такого типа для эллиптических уравнений и систем любого порядка. Там изучены также нелокальные задачи с параметром, входящим полиномиально в уравнения и граничные условия; для таких задач найдены алгебраические условия, обеспечивающие однозначную разрешимость при больших значениях параметра. Подобные нелокальные задачи изучали также Н. В.Житарашу и С. Д. Эйдельман [4]. В данной работе вводится понятие нормальных нелокальных граничных условий и выводится формула Грина, что дает возможность сформулировать сопряженную задачу; она оказывается эллиптической задачей того же типа. Это позволяет уточнить условия разрешимости основной и сопряженной задач.