О граничных значениях обобщенных решений эллиптических систем

Abstract

Известно, что если аналитическая в круге функция имеет при подходе к границе степенной рост, то для нее существуют обобщенные граничные значения, по которым можно с помощью ядер Пуассона восстановить функцию. В [1] показано, что этим свойством обладают также обобщенные решения эллиптических уравнений. В данной работе будут изучены граничные значения обобщенных решений эллиптической по Петровскому системы. Оказывается, что если для такой системы существует эллиптическая граничная задача, то остаются справедливыми результаты, полученные в скалярном случае. В работе доказана теорема о следах, из которой следуют, в частности, матричные аналоги теорем Лионса — Мадженеса [2] (см. также [3]): построена матрица Грина эллиптической граничной задачи для рассматриваемой системы и показано, что с помощью ее можно по обобщенным граничным значениям обобщенных решений восстановить решения. Применяемая методика позволяет также получить точные оценки в весовых классах обобщенных решении эллиптических по Петровскому систем. В скалярном случае такие оценки получены в [4—7]. Данную работу можно рассматривать как продолжение работы [1], основные результаты и обозначения которой здесь существенно используются. В работе используется также теорема о полном наборе изоморфизмов для эллиптических систем, доказанная в [8—10].